Compound

Published: 2022/05/25 | Updated: 2023/04/08

Compound / 複利 / 利滾利 / 驢打滾
複利和自然對數 e 的關係
- 自然對數的底 / 歐拉數 e
- 複利
複利的謊言
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我們可以通過減少複利的時間間隔，來達到利息的最大化. (PS: 有上限)

複利和自然對數 e 的關係

自然對數的底 / 歐拉數 e

假設有這樣一個式子
$\begin{align} (1 + \frac{1}{n} )^n = x \tag{1} \end{align}$
- 當 $n=1$ 時, $x=2$
- 當 $n \rightarrow \infty$ 時，得到 $x = e = 2.7 1828 1828 45 90 45 …$ 即 $e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n$
泰勒展開: $e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + …$

複利

單利即一年到頭結算利息。而多利則將一年分爲多次結算利息。即我們可以得到一個公式:

$\begin{align} PV \times ( 1 + \frac{r}{n} ) ^ n = FV \tag{2} \end{align}$

$PV(Present Value)$ 爲初值
$r$ 爲名義利率
$n$ 爲期數
$FV(Future Value)$ 爲終值

則我們假設有 100 的本金，銀行說明具有 $10\%$ 的利率

月複利$(n=12)$: $100 \times ( 1 + \frac{0.1}{12} )^{12} = 110.47$
日複利$(n=365)$: $100 \times ( 1 + \frac{0.1}{365} )^{356} = 110.51$
連續複利 ($n \rightarrow \infty$), 此時 $(2)$ 後半部分 $(1 + \frac{r}{n} )^n = e ^ r$, 存在上限.

後記: 我們可以將週期內的固定利率/回報率定義爲 $i(interest)$, 則 $(2)$ 將簡化爲:

$\begin{align} PV \times ( 1 + i ) ^ n = FV \tag{3} \end{align}$

從而得到回報率公式

$\begin{align} \sqrt[n]{ ( \frac{FV}{PV} ) } - 1 \tag{4} \end{align}$

複利的謊言

不確定性: 世界是隨機的。複利是一種虛幻的確定性, “確定性”的判斷，本質而言，其實只是某種信念.
連續性: 時間的連續無法作用事件連續發生.
回報對稱性
- 財富的委託代理機制的權利和責任是不對稱的
  - 代理人只會考慮如何儘可能地延長遊戲的時間，以便自己能夠獲得更多的業績提成，而不會考慮委託人的總體回報水平。–塔勒布《非對稱風險》
- 不懂期望值會導致概率與賠付之間的不對稱
  - 重視概率忽視賠付在肥尾條件下會導致更大的問題
  - 肥尾條件下對實際分佈估計的微小偏離都可能帶來巨大的賠付偏差
  - 由於存在非線性關係，市場參與者的概率預測誤差和最終賠付誤差完全是兩類分佈，概率預測誤差是統計量，在0到1之間，因此誤差分佈是薄尾的，而賠付的誤差分佈是肥尾的。塔勒布
現實不均勻
- 不確定性的一部分，正是分佈的“不均勻”
- 正態分佈/冪律分佈/肥尾分佈
冪律分佈: 冪律表示的是兩個量之間的函數關係，其中一個量的相對變化會導致另一個量的相應冪次比例的變化，且與初值無關：表現爲一個量是另一個量的冪次方
肥尾分佈: 相對於正態分佈或指數分佈表現出較大偏度或峯度的概率分佈
預測，下注，決策即算命
貝葉斯
- 隨時在根據當前境況重新判斷；
- 打出無記憶的牌；
- 不介意自打嘴巴；
- 勇於自我更新。
長期主義
- 大數定律: 樣本數量越多，則其算術平均值就有越高的概率接近期望值
複利神話，一場反智的智力販賣
- 做正確的事情
- 過於偏重把事情做正確
複利效應最有用的地方是在於投資自己成長、建立習慣、思考和練習的部分

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